표본분포와 추정

표본분포

같은 크기의 표본을 반복 추출해 얻은 통계량의 분포입니다. 표본평균의 분포를 예로 들면:

• 평균: E(X̄) = μ (모평균과 같음 → 불편성)
• 표준편차(= 표준오차): σ / √n

중심극한정리 (CLT)

모집단 분포가 정규가 아니어도, 표본크기 n이 충분히 크면 표본평균의 분포는 정규분포에 가까워집니다.

• 통상 n ≥ 30을 기준으로 봄
• 모집단이 이미 정규면 n이 작아도 표본평균은 정규
• CLT 덕분에 모집단 분포를 몰라도 추론이 가능합니다

"표본크기가 커지면 모집단 분포가 정규가 된다"는 틀린 진술입니다. 정규에 가까워지는 것은 표본평균의 분포입니다.

표준편차 vs 표준오차 (혼동 주의)

	표준편차	표준오차
대상	개별 관측값의 흩어짐	통계량(표본평균)의 흩어짐
식	σ	σ / √n
n이 커지면	변하지 않음	작아짐

추정량의 바람직한 성질

• 불편성: 추정량의 기대값 = 모수
• 효율성: 분산이 작음
• 일치성: n이 커지면 모수에 수렴
• 충분성: 표본이 가진 정보를 모두 활용

표본평균은 모평균의 불편추정량이고, 표본분산(n−1로 나눈 것)은 모분산의 불편추정량입니다.

구간추정

모평균의 신뢰구간 (σ를 알 때)

X̄ ± z(α/2) × σ/√n

95% 신뢰구간: X̄ ± 1.96 × σ/√n

σ를 모를 때 (표본표준편차 s 사용)

X̄ ± t(α/2, n−1) × s/√n

모비율의 신뢰구간

p̂ ± z(α/2) × √( p̂(1−p̂) / n )

여론조사 기사의 "표본오차 ±3.1%p (95% 신뢰수준)"가 이 식의 뒷부분입니다. p̂ = 0.5일 때 오차가 최대가 되므로 보수적으로 0.5를 넣어 계산합니다.

신뢰구간의 올바른 해석

"같은 방법으로 100번 조사하면 그중 약 95개의 구간이 모수를 포함한다."

• ✗ "모수가 이 구간에 있을 확률이 95%다" — 모수는 고정된 값이므로 확률의 대상이 아님
• ✗ "표본의 95%가 이 구간에 들어간다"

구간 폭을 결정하는 것

요인	신뢰구간 폭
신뢰수준 ↑ (95%→99%)	넓어짐
표본크기 n ↑	좁아짐
표준편차 σ ↑	넓어짐

신뢰수준을 높이면서 구간을 좁히려면 표본을 늘려야 합니다. 둘은 상충합니다.

표본크기 산정

허용오차 E, 신뢰수준 z일 때:

• 모평균: n = (z·σ / E)²
• 모비율: n = z²·p(1−p) / E² (p 모르면 0.5 사용)

오차를 절반으로 줄이려면 표본은 4배가 필요합니다(제곱 관계).