기술통계

중심경향치

측도	정의	특징
산술평균	합 ÷ 개수	모든 값 반영. 이상치에 민감
중앙값	크기순 가운데 값	이상치에 강건(robust)
최빈값	가장 빈번한 값	명목척도에서 유일하게 사용 가능

• 자료 수가 짝수면 중앙값은 가운데 두 값의 평균
• 최빈값은 없을 수도, 둘 이상일 수도 있음

분포 모양과 세 측도의 순서

분포	관계
좌우대칭(정규)	평균 = 중앙값 = 최빈값
오른쪽 꼬리가 긴 분포(양의 왜도)	최빈값 < 중앙값 < 평균
왼쪽 꼬리가 긴 분포(음의 왜도)	평균 < 중앙값 < 최빈값

소득 분포는 고소득 소수가 꼬리를 만들어 양의 왜도를 가집니다. 그래서 평균소득이 중위소득보다 높고, 대표값으로는 중앙값이 더 적절합니다.

기하평균과 조화평균

• 기하평균: 성장률·비율의 평균 (n개 값의 곱의 n제곱근)
• 조화평균: 속도·단위당 값의 평균 (역수의 평균의 역수)
• 크기 관계: 조화평균 ≤ 기하평균 ≤ 산술평균

산포도

측도	정의	특징
범위	최대 − 최소	이상치에 극도로 민감
사분위범위(IQR)	Q3 − Q1	가운데 50%의 폭. 강건
분산	편차 제곱의 평균	단위가 제곱됨
표준편차	분산의 제곱근	원자료와 같은 단위
변이계수(CV)	표준편차 ÷ 평균 (×100%)	단위가 다른 집단 간 산포 비교

• 편차의 합은 항상 0입니다. 그래서 제곱해서 분산을 만듭니다.
• 표본분산은 n−1로 나눕니다(자유도). 모분산의 불편추정량이 되기 위함입니다.
• 모든 값에 상수 c를 더하면: 평균은 +c, 표준편차는 불변
• 모든 값에 상수 c를 곱하면: 평균 ×c, 표준편차 ×|c|

변이계수는 "월소득(만원)과 키(cm) 중 어느 쪽이 더 흩어져 있나" 같은 비교에 씁니다. 단위가 다르면 표준편차를 직접 비교할 수 없습니다.

왜도와 첨도

• 왜도(skewness): 좌우 비대칭 정도. 0이면 대칭, 양수면 오른쪽 꼬리, 음수면 왼쪽 꼬리
• 첨도(kurtosis): 뾰족함. 정규분포 기준 3(또는 초과첨도 0). 크면 뾰족하고 꼬리가 두꺼움

표준점수 (z점수)

z = (X − 평균) / 표준편차

• 평균 0, 표준편차 1로 변환
• 서로 다른 척도의 점수를 비교 가능하게 만듦
• z = 2는 "평균보다 표준편차 2배만큼 위"

도수분포와 그래프

• 히스토그램: 연속형 자료의 도수분포. 막대가 붙어 있음
• 막대그래프: 범주형 자료. 막대가 떨어져 있음
• 상자그림: 최소–Q1–중앙값–Q3–최대와 이상치를 표시
• 줄기와 잎 그림: 원자료 값을 보존하면서 분포를 봄

상대도수와 누적도수

• 상대도수 = 해당 계급 도수 ÷ 전체
• 누적상대도수는 백분위수를 읽는 데 사용