사회조사분석사 2급 필기 2021.08.14 기출 · 확률과 확률분포
연속형 확률변수 X의 확률밀도함수가 다음과 같을 때 상수 k값과 P(|X|＞1)을 순서대로 구하면?
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정답 및 해설 보기
정답: 2번
확률밀도함수의 전체 넓이는 1이라는 원리와 정적분을 이용하여 상수 $k$와 확률을 구합니다.
① [기본 공식]
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$$
② [숫자 대입]
$$\int_{-2}^{0} (\frac{1}{4}x + k) dx + \int_{0}^{2} (-\frac{1}{4}x + k) dx = 1$$
$$[ \frac{1}{8}x^{2} + kx ]_{-2}^{0} + [ -\frac{1}{8}x^{2} + kx ]_{0}^{2} = 1$$
$$(- \frac{1}{2} + 2k) + (- \frac{1}{2} + 2k) = 1$$
③ [최종 결과]
$$k = \frac{1}{2}$$
이후 $P(|X| > 1) = 1 - P(-1 \le X \le 1)$을 계산하면
$$1 - \int_{-1}^{1} f(x) dx = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$
따라서 정답은 $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ 입니다.
① [기본 공식]
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$$
② [숫자 대입]
$$\int_{-2}^{0} (\frac{1}{4}x + k) dx + \int_{0}^{2} (-\frac{1}{4}x + k) dx = 1$$
$$[ \frac{1}{8}x^{2} + kx ]_{-2}^{0} + [ -\frac{1}{8}x^{2} + kx ]_{0}^{2} = 1$$
$$(- \frac{1}{2} + 2k) + (- \frac{1}{2} + 2k) = 1$$
③ [최종 결과]
$$k = \frac{1}{2}$$
이후 $P(|X| > 1) = 1 - P(-1 \le X \le 1)$을 계산하면
$$1 - \int_{-1}^{1} f(x) dx = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$
따라서 정답은 $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ 입니다.