사회조사분석사 2급 필기 2020.06.06 기출 · 기술통계
독립변수가 k개인 중회귀모형 y=Xβ+ε에서 회귀계수벡터 β의 추정량 b의 분산-공분산 행렬 Var(b)은? (단, Var(ε)=σ2I)
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정답: 1번
중회귀모형에서 회귀계수벡터 $\beta$의 최소제곱추정량 $b$의 분산-공분산 행렬을 구하는 문제입니다.
추정량 $b = (X'X)^{-1}X'Y$의 분산 성질을 이용하여 도출합니다.
① [기본 공식]
$$\text{Var}(b) = \sigma^2(X'X)^{-1}$$
② [숫자 대입]
$$\text{Var}(b) = \text{Var}((X'X)^{-1}X'Y) = (X'X)^{-1}X'\text{Var}(Y)[(X'X)^{-1}X']' = (X'X)^{-1}X'(\sigma^2 I)X(X'X)^{-1}$$
③ [최종 결과]
$$\text{Var}(b) = \sigma^2(X'X)^{-1}$$
추정량 $b = (X'X)^{-1}X'Y$의 분산 성질을 이용하여 도출합니다.
① [기본 공식]
$$\text{Var}(b) = \sigma^2(X'X)^{-1}$$
② [숫자 대입]
$$\text{Var}(b) = \text{Var}((X'X)^{-1}X'Y) = (X'X)^{-1}X'\text{Var}(Y)[(X'X)^{-1}X']' = (X'X)^{-1}X'(\sigma^2 I)X(X'X)^{-1}$$
③ [최종 결과]
$$\text{Var}(b) = \sigma^2(X'X)^{-1}$$