사회조사분석사 2급 필기 2017.05.07 기출 · 상관과 회귀분석
어떤 화학 반응에서 생성되는 반응량(Y)이 첨가제의 양(X)에 따라 어떻게 변화하는지를 실험하여 다음과 같은 자료를 얻었다. 변화의 관계를 직선으로 가정하고 최고제곱법에 의하여 회귀직선을 추정할 때 추정된 회귀직선의 절편과 기울기는?
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정답: 1번
최소제곱법을 이용하여 회귀직선 $Y = a + bX$의 기울기 $b$와 절편 $a$를 구하는 문제입니다.
데이터: $X=\{1, 3, 4, 5, 7\}$, $Y=\{2, 4, 3, 6, 9\}$
① [기본 공식]
$$b = \frac{n\sum XY - \sum X \sum Y}{n\sum X^2 - (\sum X)^2}, \quad a = \bar{Y} - b\bar{X}$$
② [숫자 대입]
$$b = \frac{5(77) - (20)(24)}{5(84) - (20)^2} = \frac{385 - 480}{420 - 400} = \frac{-95}{20} \text{ (계산 오류 수정)} \rightarrow b = \frac{5(77) - 20 \times 24}{5(84) - 20^2} = \frac{385-480}{20} \text{ (데이터 재확인)} \rightarrow \sum XY = 2+12+12+30+63 = 119, \sum X = 20, \sum Y = 24, \sum X^2 = 1+9+16+25+49 = 100$$
$$b = \frac{5(119) - 20 \times 24}{5(100) - 20^2} = \frac{595 - 480}{500 - 400} = \frac{115}{100} = 1.15$$
$$a = \frac{24}{5} - 1.15 \times \frac{20}{5} = 4.8 - 4.6 = 0.2$$
③ [최종 결과]
$$a = 0.2, b = 1.15$$
데이터: $X=\{1, 3, 4, 5, 7\}$, $Y=\{2, 4, 3, 6, 9\}$
① [기본 공식]
$$b = \frac{n\sum XY - \sum X \sum Y}{n\sum X^2 - (\sum X)^2}, \quad a = \bar{Y} - b\bar{X}$$
② [숫자 대입]
$$b = \frac{5(77) - (20)(24)}{5(84) - (20)^2} = \frac{385 - 480}{420 - 400} = \frac{-95}{20} \text{ (계산 오류 수정)} \rightarrow b = \frac{5(77) - 20 \times 24}{5(84) - 20^2} = \frac{385-480}{20} \text{ (데이터 재확인)} \rightarrow \sum XY = 2+12+12+30+63 = 119, \sum X = 20, \sum Y = 24, \sum X^2 = 1+9+16+25+49 = 100$$
$$b = \frac{5(119) - 20 \times 24}{5(100) - 20^2} = \frac{595 - 480}{500 - 400} = \frac{115}{100} = 1.15$$
$$a = \frac{24}{5} - 1.15 \times \frac{20}{5} = 4.8 - 4.6 = 0.2$$
③ [최종 결과]
$$a = 0.2, b = 1.15$$