분산분석

왜 분산분석인가

세 집단 이상의 평균을 비교할 때 t검정을 반복하면 제1종 오류가 누적됩니다. 분산분석은 한 번의 검정으로 "적어도 한 쌍은 다르다"를 판단합니다.

• H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = …
• H₁: 적어도 한 집단의 평균이 다르다

H₁은 "모든 평균이 다르다"가 아닙니다. "적어도 하나는 다르다"입니다.

F통계량의 논리

F = 집단 간 분산 / 집단 내 분산 = MSB / MSW

• 집단 간 분산(between): 처치 효과 + 오차
• 집단 내 분산(within): 순수 오차
• 처치 효과가 크면 분자가 커져 F가 커지고, F가 임계값보다 크면 H₀를 기각합니다
• F는 항상 0 이상이며 분포가 비대칭입니다

제곱합 분해

SST(총) = SSB(집단 간) + SSW(집단 내)

원천	제곱합	자유도	평균제곱	F
집단 간	SSB	k − 1	MSB = SSB/(k−1)	MSB/MSW
집단 내	SSW	N − k	MSW = SSW/(N−k)
전체	SST	N − 1

k = 집단 수, N = 전체 표본 수

자유도 계산이 계산 문제로 직접 나옵니다. 4개 집단, 각 10명이면 집단 간 df = 3, 집단 내 df = 36, 전체 df = 39.

효과크기

η² = SSB / SST — 종속변수 분산 중 집단 차이로 설명되는 비율

분산분석의 가정

1. 정규성: 각 집단의 종속변수가 정규분포
2. 등분산성: 집단 간 분산이 같음 (Levene 검정)
3. 독립성: 관측치가 서로 독립

가정이 깨지면 비모수 검정(크루스칼-왈리스)을 사용합니다.

설계 유형

일원배치 분산분석

독립변수 1개. 예) 교육방법(3종)에 따른 성취도

이원배치 분산분석

독립변수 2개. 예) 교육방법 × 성별

• 주효과 2개 + 상호작용 효과 1개를 검정
• 상호작용: 한 요인의 효과가 다른 요인의 수준에 따라 달라지는 것

상호작용이 유의하면 주효과 해석을 조심해야 합니다. "교육방법의 효과가 남녀에서 반대 방향"이라면 전체 평균만 봐서는 안 됩니다.

반복측정 분산분석

같은 대상을 여러 시점에 측정. 대응표본 t검정의 확장입니다.

공분산분석 (ANCOVA)

공변량(예: 사전점수)을 통제한 뒤 집단 평균을 비교합니다.

사후검정 (post-hoc)

F검정이 유의하면 "어느 집단끼리" 다른지 확인합니다.

방법	특징
Scheffé	가장 보수적. 어떤 비교도 가능
Tukey HSD	모든 쌍 비교. 집단 크기가 같을 때 적합
Bonferroni	α를 비교 횟수로 나눔. 단순하고 보수적
Duncan	가장 관대(유의 판정이 잘 남)

F검정이 유의하지 않으면 사후검정을 하지 않습니다. 순서를 뒤집은 선지가 자주 나옵니다.